CALCULANDO EL RADIO DE SCHWARZSCHILD

Hemos elegido este tema, porque tiene relación con el ámbito de -ecuaciones cuadráticas- visto en clase.

La velocidad de escape es la mínima velocidad con la que debe partir un objeto desde la superficie de un planeta para alcanzar una distancia infinita de su superficie con velocidad final cero y sin tener otro impulso que esa velocidad inicial (estando, por supuesto, en todo momento bajo los efectos de la atracción gravitatoria de dicho planeta). Esta sería la definición formal, en términos mas simples es la velocidad mínima que debe tener un objeto para escapar de la atracción del planeta. ¿Cómo se calcula?. Sabemos que la aceleración de la gravedad para un objeto fuera de un planeta toma la forma:

(1)

donde G es la constante de gravitación universal (6.67x 10^-11 m³/kg seg²), M es la masa del planeta y r es la distancia entre el centro del planeta y objeto. Esta es la ecuación de movimiento para un objeto cualquiera sometido a la acción de la gravedad. Es fácil ver que la aceleración se puede escribir

(2)

siendo v la velocidad, con lo cual la ecuación (1) queda:

(3)

Ahora integramos ambos lados de la igualdad con los límites de integración dados por la definición, es decir, los límites del miembro izquierdo serán el radio del planeta y el infinito, y los del miembro derecho, la velocidad de escape y cero

(4)

y así obtenemos

(5)

De esta última ecuación se puede despejar la velocidad de escape

(6)

La fórmula (6) permite calcular la velocidad de escape de cualquier planeta o estrella conociendo el radio y la masa. Por ejemplo, el radio del planeta Tierra es R = 6378 km y su masa M = 5.972 x 10²⁴ kg entonces:

que es, por supuesto, la ya conocida velocidad de escape de la Tierra. Sin embargo nuestro objetivo es otro, lo que pretendemos es calcular el radio de Schwarzschild para un cuerpo celeste cualquiera. Nuevamente a partir de la ecuación (6) esto es muy sencillo. Simplemente impondrémos que la velocidad de escape sea igual a la velocidad de la luz c y despejarémos R. Obtenémos entonces la formula buscada:

(7)

Es curioso que esta fórmula siendo no relativista (es decir que no empleamos la teoría de relatividad para llegar a ella) nos permita obtener los radios de horizontes de eventos para agujeros negros con bastante buena aproximación conociendo la masa de la estrella implicada. Por ejemplo, ¿cual sería el radio de Schwarzschild de una estrella con masa tres veces mayor que la del Sol?. La masa del Sol es aproximadamente 2 x 10³⁰ Kg, entonces supongamos una estrella de masa 6 x 10³⁰ kg, reemplazando este dato en (7) obtenémos:

que es un valor muy cercano al radio que parece tener el horizonte de eventos de un agujero negro.