CALCULANDO EL RADIO DE SCHWARZSCHILD

Hemos elegido este tema, porque tiene relación con el ámbito de -ecuaciones cuadráticas- visto en clase.

La velocidad de escape es la mínima velocidad con la que debe partir un objeto desde la superficie de un planeta para alcanzar una distancia infinita de su superficie con velocidad final cero y sin tener otro impulso que esa velocidad inicial (estando, por supuesto, en todo momento bajo los efectos de la atracción gravitatoria de dicho planeta). Esta sería la definición formal, en términos mas simples es la velocidad mínima que debe tener un objeto para escapar de la atracción del planeta. ¿Cómo se calcula?. Sabemos que la aceleración de la gravedad para un objeto fuera de un planeta toma la forma:

(1)

donde G es la constante de gravitación universal (6.67x 10^-11 m³/kg seg²), M es la masa del planeta y r es la distancia entre el centro del planeta y objeto. Esta es la ecuación de movimiento para un objeto cualquiera sometido a la acción de la gravedad. Es fácil ver que la aceleración se puede escribir

(2)

siendo v la velocidad, con lo cual la ecuación (1) queda:

(3)

Ahora integramos ambos lados de la igualdad con los límites de integración dados por la definición, es decir, los límites del miembro izquierdo serán el radio del planeta y el infinito, y los del miembro derecho, la velocidad de escape y cero

(4)

y así obtenemos

(5)

De esta última ecuación se puede despejar la velocidad de escape

(6)

La fórmula (6) permite calcular la velocidad de escape de cualquier planeta o estrella conociendo el radio y la masa. Por ejemplo, el radio del planeta Tierra es R = 6378 km y su masa M = 5.972 x 10²⁴ kg entonces:

que es, por supuesto, la ya conocida velocidad de escape de la Tierra. Sin embargo nuestro objetivo es otro, lo que pretendemos es calcular el radio de Schwarzschild para un cuerpo celeste cualquiera. Nuevamente a partir de la ecuación (6) esto es muy sencillo. Simplemente impondrémos que la velocidad de escape sea igual a la velocidad de la luz c y despejarémos R. Obtenémos entonces la formula buscada:

(7)

Es curioso que esta fórmula siendo no relativista (es decir que no empleamos la teoría de relatividad para llegar a ella) nos permita obtener los radios de horizontes de eventos para agujeros negros con bastante buena aproximación conociendo la masa de la estrella implicada. Por ejemplo, ¿cual sería el radio de Schwarzschild de una estrella con masa tres veces mayor que la del Sol?. La masa del Sol es aproximadamente 2 x 10³⁰ Kg, entonces supongamos una estrella de masa 6 x 10³⁰ kg, reemplazando este dato en (7) obtenémos:

que es un valor muy cercano al radio que parece tener el horizonte de eventos de un agujero negro.

AGUJEROS NEGROS Y EL RADIO DE SCHWARZCHILD

También el infinito tiene un derecho y un revés. Los dioses están siempre al derecho, aunque a veces se acuerden del otro lado. El hombre está siempre al revés y no puede acordarse de otra parte. Pero también el infinito puede dar vueltas en el aire como una moneda, que no sabemos quién arroja con sus giros de sarcásticas guiñadas. Y así cambian a veces los papeles, pero no seguramente la memoria. El hombre es el revés del infinito, aunque el azar lo traslade un instante, al otro lado.
Roberto Jurroz

Agujero negro

Un agujero negro es una región finita del espacio-tiempo provocada por una gran concentración de masa en su interior, con enorme aumento de la densidad, lo que genera un campo gravitatorio tal que ninguna partícula material, ni siquiera los fotones de luz, pueden escapar de dicha región.

La curvatura del espacio-tiempo o «gravedad de un agujero negro» provoca una singularidad envuelta por una superficie cerrada, llamada horizonte de sucesos. Esto es debido a la gran cantidad de energía del objeto celeste. El horizonte de sucesos separa la región del agujero negro del resto del Universo y es la superficie límite del espacio a partir de la cual ninguna partícula puede salir, incluyendo la luz. Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general, la que predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio. En los años 70, Hawking, Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometría de los agujeros negros. Previamente, en 1963, Roy Kerr había demostrado que en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones todos los agujeros negros debían tener una geometría cuasi-esférica determinada por tres parámetros: su masa M, su carga eléctrica total e y su momento angular L.

Se cree que en el centro de la mayoría de las galaxias, entre ellas la Vía Láctea, hay agujeros negros supermasivos. La existencia de agujeros negros está apoyada en observaciones astronómicas, en especial a través de la emisión de rayos X por estrellas binarias y galaxias activas.

Para entender como puede una estrella llegar a este estado tendremos que hablar primero sobre la fuerza de gravedad. Todo cuerpo con masa (es decir todo cuerpo material) genera un campo de gravedad a su alrededor no importando su tamaño (una mesa, una planeta, una partícula subatómica, nosotros mismos tenemos un campo de gravedad propio). La existencia de este campo provoca que otro objeto con masa que se acerque sienta su influencia como una fuerza atractiva y a su vez atraiga al cuerpo generador con una fuerza igual. La magnitud de esta fuerza es directamente proporcional a la masa, de manera que un cuerpo con el doble de masa producirá una fuerza dos veces mas grande. La gravedad es una fuerza sumamente débil, comparada con las otras fuerzas es la de menor magnitud (hasta ahora las fuerzas conocidas son cuatro: nuclear fuerte, electromagnética, nuclear débil y gravedad), sin embargo si la masa involucrada es grande (como en un planeta o estrella) se convierte en la fuerza mas importante. La gravedad siempre es atractiva. No existe (al menos hasta el momento) ninguna evidencia experimental ni teórica de la llamada "antigravedad" (o gravedad repulsiva). Otra característica importante de la gravedad es la forma en la que cambia con la distancia al centro generador. Si estoy situado en la superficie de la Tierra (como supongo lo está usted ahora) lo que llamo peso es precisamente la fuerza de gravedad que la Tierra ejerce sobre mi a la distancia de un radio terrestre del centro del planeta (el radio de la Tierra es aproximadamente 6378 km). Ahora bien, si me alejara al doble de esta distancia la fuerza de gravedad sobre mi cuerpo disminuiría cuatro veces, se dice entonces que la gravedad varía en forma inversa al cuadrado de la distancia. Supongamos que fuera posible comprimir al planeta Tierra hasta una esfera de la mitad de su diámetro actual conservando la masa. Si permaneciésemos a una distancia de 6378 km del centro (o sea el radio actual) no percibiríamos ningún cambio (la Luna, por ejemplo, continuaría orbitando alrededor de la Tierra sin darse por enterada de la diferencia de tamaño) ya que la fuerza de gravedad solo depende de la masa y la distancia al centro del planeta, y estas no habrían cambiado. Sin embargo, si nos situáramos sobre la nueva superficie la gravedad aumentaría cuatro veces. Es decir que si usted pesa ahora 70 kg, en la superficie del planeta comprimido pesaría 280 kg. Lo interesante es que si siguiéramos disminuyendo el volumen (y conservando la masa) la fuerza de gravedad sobre la superficie seguiría aumentando, la pregunta clave es ¿habrá algún límite para este aumento?

Si arrojamos una pelota hacia arriba sabemos que es inevitable que vuelva a caer, por supuesto esto se debe a la atracción que ejerce la Tierra sobre la pelota. ¿A que velocidad mínima debería arrojar la pelota para que escape de la atracción de la Tierra y se pierda en el espacio?. Se puede calcular que esta velocidad debe ser de aproximadamente 11 km/seg. Esta es la llamada velocidad de escape. Es la velocidad mínima que debe tener un cohete, por ejemplo, para iniciar su viaje. En la superficie del Sol la velocidad de escape es de 617 km/seg (el Sol es mucho mas masivo que la Tierra). Volviendo al tema de la contracción de volumen del párrafo anterior, el aumento de gravedad en la superficie del planeta contraído implica también un aumento en la velocidad de escape, es decir, a cualquier objeto le resultaría mas difícil salir de la superficie. Pero en este punto nos topamos con un hecho interesante, existe una velocidad máxima que puede alcanzar un objeto material, esta es la velocidad de la luz (unos 300000 km/seg, para mayor información sobre el tema puede ver el artículo sobre Viajes en el tiempo).


Radio de Schwarzschild.

Que pasaría si siguiéramos comprimiendo la Tierra hasta que la velocidad de escape llegara a ser igual a la velocidad de la luz?. Bien, es evidente que ningún objeto, partícula o la misma luz podría escapar del planeta ya que no hay nada (hasta ahora) que se mueva mas rápido. El planeta desaparecería de la vista, seria totalmente negro (ya que ni la luz podría escapar), cualquier cosa que cayera en el no volvería a salir. El radio en el que la velocidad de escape alcanza la de la luz se llama radio de Schwarzchild, por que fue el astrónomo alemán Karl Schwarzschild el primero en calcularlo. La Tierra alcanzaría su radio de Schwarzschild si se contrajera hasta convertirse en una esfera de 1 cm de radio (manteniendo su masa), para el Sol este radio seria de 3 km. Cualquier objeto tiene un radio de Schwarzschild que es mas pequeño cuando menor es la masa del objeto. El físico norteamericano John Archibald Wheeler llamó al objeto que alcanza este radio agujero negro (black hole) debido a que tal objeto no emite ni refleja ninguna luz.

OBJETIVOS Y PRESENTACIÓN

Nosotros somos...

MARIA ELENA VILCHIS ARZATE

Me gusta mucho el dibujo y el deporte, sobre todo el futbol y el baloncesto. Soy muy risueña y me encantan los videojuegos.Quiero estudiar diseño y comunicación visual =) y me encanta bailar jajaja

IRMA GABRIELA TORRES ESCAMILLA

Me gusta mucho la música, sobretodo el rock y el metal, me gusta aprender nuevos idiomas, soy introvertida y estoy un poco loca ^^ jeje. Quiero estudiar medicina, por lo que trato de tener un buen promedio en la escuela, aunque a veces me distraigo un poco ¬¬, me gustan mucho las matemáticas, aunque aprender esta materia con la computadora como uno de los medios principales, me ha costado un poco de trabajo...

LUCERO LOPEZ LOPEZ

HOLA!!!! YO ME CONSIDERO UNA CHAVA BUENA ONDA Y A LA VEZ TÍMIDA, PERO ESTO NO ES UN IMPEDIMENTO PARA QUE ME PUEDA LLEVAR SUPER!!! CON LOS DEMÁS.

LO QUE MÁS ME GUSTA ES SER FELIZ Y LUCHAR POR MIS OBJETIVOS.

LAURA NAVARRO ESTEFES

HOLA!!!ME CONSIDERO UNA PERSONA MUY ALEGRE Y AMIGABLE AUNQUE EN OCASIONES SOY UN POCO TÍMIDA

Todas estudiamos en la Escuela Nacional Preparatoria No.9 "Pedro de ALba" (apunto de finalizar el 5to año de la preparatoria) y estamos en el grupo 504.

Este blog fue elaborado para nuestro proyecto final del curso de matemáticas; en el cual, los temas principales de estudio fueron la geometría analítica y la trigonometría.

Nuestro objetivo fundamental es mostrar un lado más interesante de las diversas aplicaciones de las matemáticas; para lo cual hemos decidido enfocarnos principalmente a temas relacionados con la astromía. Sin embargo, también mostraremos otras aplicaciones de la trigonometría como lo es la determinación de distancias desde el mar.

Aplicaciones de las Matemáticas en la astronomía.

Toda teoría científica sea de la relatividad, agujeros negros, Big Bang, etc. Tiene que ser comprobada matemáticamente, en especial con la física o astrofísica; de lo contrario las teorías quedarían como filosofías sin hipótesis verdaderas o soportes claros. Todos los movimientos, órbitas, velocidades de los planetas, satélites, planetoides, asteroides, cometas, etc., se realizan con cálculos matemáticos, es decir la astronomía no seria nada sin las matemáticas.

Geometría analítica en la astronomía.

A partir de la geometría se han podido teorizar modelos del universo. En todo el universo gobiernan las formas geométricas, por ejemplo, las orbitas de los planetas en torno a una estrella, satélites en torno a un planeta y cometas en torno a una estrella...las orbitas no son mas que secciones cónicas es decir elipses o hipérbolas (geometría analítica)

En primera instancia la astronomía ha tomado ciertos elementos la geometría para poder fijar ciertas cosas tales como las coordenadas tan necesarias para los astrónomos para situar objetos en la bóveda celeste.

Con geometría se pueden calcular las distancias que existen entre las estrellas por el método del paralaje trigonométrico (trigonometría)

La geometría de la esfera dio la pauta a Einstein para decir que la distancia mas corta entre dos puntos no es una línea recta como se pensaba, sino que la distancia mas corta entre dos puntos es una geodésica, por eso se dice que el universo es curvo (Geometría esférica).

Con geometría se pueden calcular las distancias que existen entre las estrellas por el método del paralaje trigonométrico (trigonometría)

La geometría de la esfera dio la pauta a Einstein para decir que la distancia mas corta entre dos puntos no es una línea recta como se pensaba, sino que la distancia mas corta entre dos puntos es una geodésica, por eso se dice que el universo es curvo. (Geometría esférica)